La saga continua, scusate se un po' in ritardo, ma ho cercato (probabilmente invano) di essere il più chiaro possibile.
È ritornata puntuale, come si apprende leggendo alcune recenti
pagine del thread
❤ BTP TF 2072/2067/2051/2045...News, A.T, View, Trading & Cassetto - Vol. 10 ❤, l'ormai classica discussione sulla differenza tra il rendimento di rendimentibtp e quello di borsaitaliana. Non poteva mancare all'appuntamento, in quanto inevitabilmente chiamata in causa, la distinzione tra rendimento semplice e composto, l'esistenza del TIR, la necessità/impossibilità di reinvestimento delle cedole... insomma la solita storia.
Chiaramente l'obiettivo del presente thread non è stato (ancora) raggiunto e il continuo affiorare di queste tematiche nella discussione principale arrivata ormai al decimo volume irrita con facilità sempre maggiore gli utenti che la seguono in maniera più assidua, annoiati dal ripetersi delle stesse considerazioni. Numerosi sono stati gli inviti, più o meno gentili, a discutere in altre discussioni (anche se
non questa! , ma va bene così) una tematica di evidente interesse, ma considerata off topic, ancorché citata in prima pagina.
In sincerità più che essere off topic ritengo probabile sia stata considerata come eccessivamente discussa, oltre la normale sopportazione, analogamenti agli eccessi di discussione sul gas e le relative reazioni scatenate.
Vorrei con questo post porre l'attenzione su alcuni dettagli che ritengo contribuiscano ad alimentare un senso di confusione diffusa, sperando di fare un po' di chiarezza, anche se quasi sicuramente confonderà ancora di più le idee.
Nella discussione sono emerse nuovamente considerazioni sulla necessità di dover reinvestire le cedole se si vuole ottenere il rendimento effettivo a scadenza (utilizzato da
borsaitaliana), che fa uso della capitalizzazione
composta. Analogamente bisogna NON reinvestire la cedola quando si usa la capitalizzazione
semplice (
rendimentibtp).
È stato inoltre condiviso
questo link, che rimanda tra le altre cose al
tasso di interesse effettivo (che appena riesco aggiungo al primo post), definito come
Wikipedia ha scritto:
la percentuale dell'interesse su un prestito e l'importo della remunerazione spettante al prestatore. In parole povere, è il «prezzo del noleggio del denaro»
Detto questo, alla luce degli esempi visti fino ad ora (basta confrontare nello stesso momento i rendimenti di uno stesso titolo forniti dai due siti appena menzionati), la domanda che sorge spontanea è: perché il metodo che prevede il reinvestimento delle cedole restituisce un valore numerico più basso di quello che non lo prevede?
In altre parole, perché
rendimento semplice > rendimento composto
quando
montante semplice < montante composto?
Qualcuno potrebbe dire che proprio perché si prevede il reinvestimento delle cedole che basta un rendimento più basso per ottenere lo stesso montante. È possibile? Vediamo.
La discussione citata all'inizio del post, mi ha fatto riflettere su 2 esempi che vorrei qui riproporre. Trascuriamo ogni eventuale imposta, ovvero ragioniamo al
lordo che già così le cose sono difficili.
L'idea è sempre quella di concentrarsi sulla struttura dell'obbligazione e quindi sui relativi flussi di capitale e non soffermarsi solo sul montante finale.
Obbligazione 1. Plain Vanilla, prezzo 100, rimborso a 100, durata 10 anni, tasso di rendimento nominale 2,5 (semestrale).
Calcoliamo il montante semplice. Ogni semestre ci vengono liquidati 2,5€. In un anno sono 5€, in t=10 anni sono 50€. Montante finale: M = 150€.
Pertanto il tasso di interesse effettivo semplice è
Procediamo ora con il montante composto. Al sesto mese ci vengono liquidati 2,5€. Questi 2,5€ unitamente ai 100€ iniziali, diventano la base per il calcolo degli interessi del semestre successivo e così via.
Alla fine, il montante composto viene 100*(1,025)^20 = 163,9.
Pertanto il tasso di interesse effettivo (ovvero il rapporto tra interessi maturati e il capitale investito, da non confondere con il TRES), calcolato sul montante composto viene
6,39%
Applichiamo ora la legge di equivalenza finanziaria, in particolare la relazione tra tassi equivalenti in regimi differenti (sempre dallo stesso link). Vogliamo calcolare il tasso composto a partire dal montante semplice. Invertendo la relazione
Ci viene un interesse i =
4,14%. Sostanzialmente si tratta dell'osservazione fatta in precedenza, ovvero che basta un rendimento composto più basso per ottenere lo stesso montante (ottenuto dall'interesse semplice).
Provando a calcolare il tasso di interesse effettivo a scadenza, ovvero il TIR, ricaviamo
5,06%. Lo 0,06% è dovuto all'influenza della cedola semestrale. Infatti se si imposta il flusso di capitali da dare in pasto al TIR considerando una cedola annuale di 5, il rendimento effettivo a scadenza viene esattamente pari a
5%.
Che cosa abbiato ottenuto?
Che in questo caso il
TIR corrisponde all'interesse semplice. Ma come? Il TIR, ovvero il TRES, come specificato pure sul sito borsaitaliana, non prevede il reinvestimento delle cedole?
Su questo risultato la mia idea l'ho già espressa, ovvero che una volta che gli interessi sono stati liquidati, non è corretto considerarne il reinvestimento per determinare il rendimento effettivo a scadenza.
Del resto lo dice anche lo stesso link di sopra (giuro di non aver partecipato alla stesura):
Wikipedia ha scritto:
L'interesse viene detto composto quando, invece di essere pagato o riscosso, è aggiunto al capitale iniziale che lo ha prodotto. Questo comporta che alla maturazione degli interessi il montante verrà riutilizzato come capitale iniziale per il periodo successivo, ovvero anche l'interesse produce interesse.
La condizione affiché si possa parlare di rendimento composto è il
NON pagamento della cedola, ma la cedola viene pagata (fino a prova contraria), quindi il debito dell'emittente è ripristinato. Non è possibile capitalizzare (rendere capitale) degli interessi maturati che sono stati pagati. In ottica "patrimonio" quegli interessi devono senz'altro essere tenuti in considerazione, sebbene non più in relazione al rendimento dell'obbligazione essendone ormai estranei. Ma ora andiamo avanti.
Obbligazione 2. Zero coupon bond, prezzo 66,7, rimborso a 100, durata 10 anni.
Calcoliamo pure in questo caso il montante. Non ci sono cedole, M=100. Semplice.
Pertanto il tasso di interesse effettivo (come da definizione del link, da non confondere con il TRES) viene (M/C - 1)/t =
5%.
È solo per caso che il rendimento è uguale a quello dell'esempio precedente, in questo caso però il rendimento semplice è un'approssimazione, non rappresenta il rendimento dell'obbligazione.
Siccome il montante composto, in assenza di cedole, produce lo stesso valore appena visto (M=100) possiamo provare a ricavare l'interesse composto invertendo la relazione per il calcolo del montante. Si ottiene pertanto
Provando ora a calcolare il TIR, dando questi 4 numeri in croce alla relativa funzione excel, otteniamo
4,13%.
Riassumendo.
Per l'obbligazione 1
- Il TIR riesce a replicarne (al netto della piccola differenza dovuta alla capitalizzazione semestrale) esattamente il rendimento annuo. Coincide con il tasso semplice e quindi è allineato (avrete ormai capito la mia posizione) al rendimento che NON prevede il reinvestimento delle cedole.
- L'interesse composto non è adatto a replicarne la struttura.
Per l'obbligazione 2
- L'interesse semplice non è adatto a replicarne il rendimento.
Infatti in questo caso il TIR, che prevede la capitalizzazione composta di tutto ciò che ha in pancia, ovvero tutto ciò che non ha liquidato nel frattempo (gli interessi), coincide col tasso composto e non con quello semplice.
Siccome ogni obbligazione si può scomporre in una quota plain vanilla ed in una zero coupon segue che
- il rendimento semplice non riesce a replicare bene la parte zero coupon
- il rendimento composto non riesce a replicare bene la parte vanilla
- il TIR replica perfettamente entrambi.
A voi le osservazioni per eventuali sviluppi costruttivi.