Gianni78bari
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Un punto fondamentale da tenere a mente è che nel modello di B&S la volatilità è costante.
Cerchiamo di capire cosa vuol dire e come in linea teorica è possibile giustificare questa ipotesi che però viene ovviamente smentita nella realtà.
Per farlo ci aiutiamo con un modello lineare semplificato. Posto un prezzo iniziale del sottostante ed una scadenza, la volatilità indica l'intervallo di valori nel quale potrà trovarsi il sottostante a scadenza. Il modello è semplificato perchè immaginiamo che il sottostante si muova secondo dei passi simmetrici in su ed in giu e con due sole possibilità alla fine di ogni sottointervallo temporale. In questo modo semplifichiamo la visualizzazione ed il ragionamento.
Osserviamo l'immagine sotto:
Al tempo iniziale (pallino verde), mancano 8 giorni a scadenza e ogni quadratino rappresenta un giorno. All'inizio il sottostante potrà potenzialmente finire in uno qualsiasi dei punti tra A e B. Quella è la volatilità del sottostante.
N.B. la volatilità nel modello di B&S è riferita ai rendimenti e di solito è annualizzata e, poiché si suppone una gaussiana come distribuzione di probabilità, si riferisce alla deviazione standard dei rendimenti percentuali da qui a un anno; per ricavare quella dei periodi inferiori ad un anno abbiamo visto e spiegato nel secondo post che si moltiplica quella annuale per la radice di t/252 con t=giorni a scadenza e 252 giorni annuali di borsa. Nel modello reale abbiamo quindi una deviazione standard in percentuale da moltiplicare per il sottostante al tempo iniziale per avere il range di valori che al 68% circa comprenderanno il sottostante a scadenza (Come sappiamo per un insieme di dati approssimativamente normale, come vengono appunto considerati i rendimenti nel modello di B&S, i valori all'interno di una deviazione standard della media rappresentano circa il 68% dell'insieme; mentre entro due deviazioni standard rappresentano circa il 95%; e entro tre deviazioni standard rappresentano circa il 99,7%). Il modello semplificato dell'immagine sopra si trasforma quindi in quello della figura seguente già proposta nelle parti precedenti (N.B.:sopra sono prezzi, qui sono rendimenti)
All'aumentare dell'intervallo t considerato, la distribuzione si spancia e uno spostamento che in un intervallo breve aveva poche probabilità di realizzarsi, in un intervallo più grande aumenta le sue probabilità.
Torniamo al modello semplificato.
In un mondo a volatilità costante il sottostante si muove ogni giorno di un quadratino e ciascun quadratino a sua volta ha una sua volatilità fissa che non è altro che una frazione della volatilità complessiva ovvero il range dello spostamento totale potenziale dall'inizio del contratto (nella figura è visualizzato dalla diagonale del quadrato da A a B). La volatilità giornaliera si ricava in questo caso moltiplicando quella totale A-B per 1/8.
Al giorno 3 potremmo ad esempio ritrovarci al punto rosso. A quel punto il range potenziale a scadenza si è appunto ridotto di 3 quadratini, passando da A-B (range di 8 quadratini) a C-B (range di 5).
In termini di relazione funzionale tra tempo e volatilità la differenza tra il modello semplificato e B&S è quella che appare nella figura seguente:
Col passare del tempo nel modello semplificato la volatilità attesa diminuisce in modo lineare mentre nel modello di B&S accelera sempre più.
In questa situazione c'è un legame inscindibile tra volatilità e tempo. Se aumenta il tempo a scadenza la volatilità aumenta, se diminuisce il tempo a scadenza la volatilità diminuisce; il tutto in modo perfettamente prevedibile.
LA VOLATILITA' E' TEMPO, TEMPO VOLATILITA', SIGNORE!
Quando parliamo di B&S in particolare parliamo di volatilità implicita. Ed è quindi la volatilità implicita ad essere costante; e ciò significa che il prezzo delle opzioni è soggetto solo al movimento del sottostante, al passare ineluttabile del tempo e ad una previsione iniziale della variabilità a scadenza che rimane costante fino al setting. In questo modello (in cui è possibile il delta hedging continuo perchè si ipotizza un mondo in cui i rendimenti sono perfettamente normali, nel senso statistico del termine), domanda e offerta delle opzioni non dovrebbero influenzare il prezzo. Se qualcuno vuole acquistare più opzioni il market maker può semplicemente crearle mediante delta hedging che sarà un sostituto perfetto dell'opzione stessa permettendogli quindi di azzerare i rischi ed offrire un prezzo indipendente dalle dinamiche di domanda/offerta di opzioni; prezzo che dipenderà appunto dal tempo a scadenza, posizione del sottostante rispetto allo strike e volatilità stimata ad inizio contratto. In un mercato siffatto la volatilità implicita è appunto costante ed in realtà poiché l'hedging perfetto presuppone la conoscenza della reale distribuzione di probabilità verrebbe a mancare tutta quella dinamica che tiene vivo il mercato delle opzioni cioè il disallineamento tra la distribuzione implicita del sottostante (dettata dai prezzi delle opzioni) e la distribuzione reale, e non esisterebbero dunque smile e superficie di volatilità.
La dinamica della domanda ed offerta di opzioni agisce invece sia a livello dei singoli strike (creando lo smile ed implicando una volatilità diversa per ognuno di essi), sia sulle scadenze diverse (creando uno smile sullo stesso strike a scadenza diverse).
Riprendendo la prima immagine del modello semplificato (SUBITO SOTTO LA SUPERFICIE DI VOLATILITA') ci rendiamo conto che la variazione di volatilità implicita possiamo vederla anche come una distorsione temporale determinata dalla dinamica di domanda ed offerta di opzioni che agisce dilatando e restringendo in modo molto violento il tempo a scadenza rispetto a quello che accadrebbe se fossero pienamente rispettate le ipotesi di B&S. Questo perturba la prevedibilità della relazione tra volatilità e tempo distorcendone sensibilmente gli effetti (cosa che verrà approfondita con le greche).
Alla luce di queste considerazioni non posso fare a meno di pensare che le opzioni rappresentino una sorta di metafora di un percorso esistenziale.
Abbiamo una scadenza, delle prospettive ed il vivere quotidiano che ci porta verso tali prospettive. Quello che possiamo fare è andare il più lontano possibile nel nostro percorso creandoci prospettive le più ampie possibili; cosa che considerata da un altro punto di vista è come prolungare il nostro tempo a disposizione se contato in termini di esperienze accumulate. Ciò non toglie che maggiori possibilità corrispondano anche a maggiori rischi ma è il prezzo da pagare rispetto ad una vita a bassa volatilità e rendimento.
Cerchiamo di capire cosa vuol dire e come in linea teorica è possibile giustificare questa ipotesi che però viene ovviamente smentita nella realtà.
Per farlo ci aiutiamo con un modello lineare semplificato. Posto un prezzo iniziale del sottostante ed una scadenza, la volatilità indica l'intervallo di valori nel quale potrà trovarsi il sottostante a scadenza. Il modello è semplificato perchè immaginiamo che il sottostante si muova secondo dei passi simmetrici in su ed in giu e con due sole possibilità alla fine di ogni sottointervallo temporale. In questo modo semplifichiamo la visualizzazione ed il ragionamento.
Osserviamo l'immagine sotto:
Al tempo iniziale (pallino verde), mancano 8 giorni a scadenza e ogni quadratino rappresenta un giorno. All'inizio il sottostante potrà potenzialmente finire in uno qualsiasi dei punti tra A e B. Quella è la volatilità del sottostante.
N.B. la volatilità nel modello di B&S è riferita ai rendimenti e di solito è annualizzata e, poiché si suppone una gaussiana come distribuzione di probabilità, si riferisce alla deviazione standard dei rendimenti percentuali da qui a un anno; per ricavare quella dei periodi inferiori ad un anno abbiamo visto e spiegato nel secondo post che si moltiplica quella annuale per la radice di t/252 con t=giorni a scadenza e 252 giorni annuali di borsa. Nel modello reale abbiamo quindi una deviazione standard in percentuale da moltiplicare per il sottostante al tempo iniziale per avere il range di valori che al 68% circa comprenderanno il sottostante a scadenza (Come sappiamo per un insieme di dati approssimativamente normale, come vengono appunto considerati i rendimenti nel modello di B&S, i valori all'interno di una deviazione standard della media rappresentano circa il 68% dell'insieme; mentre entro due deviazioni standard rappresentano circa il 95%; e entro tre deviazioni standard rappresentano circa il 99,7%). Il modello semplificato dell'immagine sopra si trasforma quindi in quello della figura seguente già proposta nelle parti precedenti (N.B.:sopra sono prezzi, qui sono rendimenti)
All'aumentare dell'intervallo t considerato, la distribuzione si spancia e uno spostamento che in un intervallo breve aveva poche probabilità di realizzarsi, in un intervallo più grande aumenta le sue probabilità.
Torniamo al modello semplificato.
In un mondo a volatilità costante il sottostante si muove ogni giorno di un quadratino e ciascun quadratino a sua volta ha una sua volatilità fissa che non è altro che una frazione della volatilità complessiva ovvero il range dello spostamento totale potenziale dall'inizio del contratto (nella figura è visualizzato dalla diagonale del quadrato da A a B). La volatilità giornaliera si ricava in questo caso moltiplicando quella totale A-B per 1/8.
Al giorno 3 potremmo ad esempio ritrovarci al punto rosso. A quel punto il range potenziale a scadenza si è appunto ridotto di 3 quadratini, passando da A-B (range di 8 quadratini) a C-B (range di 5).
In termini di relazione funzionale tra tempo e volatilità la differenza tra il modello semplificato e B&S è quella che appare nella figura seguente:
Col passare del tempo nel modello semplificato la volatilità attesa diminuisce in modo lineare mentre nel modello di B&S accelera sempre più.
In questa situazione c'è un legame inscindibile tra volatilità e tempo. Se aumenta il tempo a scadenza la volatilità aumenta, se diminuisce il tempo a scadenza la volatilità diminuisce; il tutto in modo perfettamente prevedibile.
LA VOLATILITA' E' TEMPO, TEMPO VOLATILITA', SIGNORE!
Quando parliamo di B&S in particolare parliamo di volatilità implicita. Ed è quindi la volatilità implicita ad essere costante; e ciò significa che il prezzo delle opzioni è soggetto solo al movimento del sottostante, al passare ineluttabile del tempo e ad una previsione iniziale della variabilità a scadenza che rimane costante fino al setting. In questo modello (in cui è possibile il delta hedging continuo perchè si ipotizza un mondo in cui i rendimenti sono perfettamente normali, nel senso statistico del termine), domanda e offerta delle opzioni non dovrebbero influenzare il prezzo. Se qualcuno vuole acquistare più opzioni il market maker può semplicemente crearle mediante delta hedging che sarà un sostituto perfetto dell'opzione stessa permettendogli quindi di azzerare i rischi ed offrire un prezzo indipendente dalle dinamiche di domanda/offerta di opzioni; prezzo che dipenderà appunto dal tempo a scadenza, posizione del sottostante rispetto allo strike e volatilità stimata ad inizio contratto. In un mercato siffatto la volatilità implicita è appunto costante ed in realtà poiché l'hedging perfetto presuppone la conoscenza della reale distribuzione di probabilità verrebbe a mancare tutta quella dinamica che tiene vivo il mercato delle opzioni cioè il disallineamento tra la distribuzione implicita del sottostante (dettata dai prezzi delle opzioni) e la distribuzione reale, e non esisterebbero dunque smile e superficie di volatilità.
La dinamica della domanda ed offerta di opzioni agisce invece sia a livello dei singoli strike (creando lo smile ed implicando una volatilità diversa per ognuno di essi), sia sulle scadenze diverse (creando uno smile sullo stesso strike a scadenza diverse).
Riprendendo la prima immagine del modello semplificato (SUBITO SOTTO LA SUPERFICIE DI VOLATILITA') ci rendiamo conto che la variazione di volatilità implicita possiamo vederla anche come una distorsione temporale determinata dalla dinamica di domanda ed offerta di opzioni che agisce dilatando e restringendo in modo molto violento il tempo a scadenza rispetto a quello che accadrebbe se fossero pienamente rispettate le ipotesi di B&S. Questo perturba la prevedibilità della relazione tra volatilità e tempo distorcendone sensibilmente gli effetti (cosa che verrà approfondita con le greche).
Alla luce di queste considerazioni non posso fare a meno di pensare che le opzioni rappresentino una sorta di metafora di un percorso esistenziale.
Abbiamo una scadenza, delle prospettive ed il vivere quotidiano che ci porta verso tali prospettive. Quello che possiamo fare è andare il più lontano possibile nel nostro percorso creandoci prospettive le più ampie possibili; cosa che considerata da un altro punto di vista è come prolungare il nostro tempo a disposizione se contato in termini di esperienze accumulate. Ciò non toglie che maggiori possibilità corrispondano anche a maggiori rischi ma è il prezzo da pagare rispetto ad una vita a bassa volatilità e rendimento.