Econometria per dummies: la duration dei BTP
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  1. #1
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    Econometria per dummies: la duration dei BTP

    Faccio riferimento all'interesse manifestato da Cren sull'argomento dei titoli a reddito fisso per introdurre l'argomento della duration, ovvero il metodo matematico per ricondurre la "durata facciale" (ovvero la data di scadenza di un titolo che paga cedole a tasso fisso ricorrenti) alla durata chiamata "duration" (ovvero una durata che tiene conto del peso e della cronologicita' nella corresponsione delle cedole).

    (cliccare per evidenziare il link)

    "Ci sarebbe da discutere molto sull'argomento. Ad esempio, come calcoli tu in Excel la durata? Ti torna con i dati ufficiali ? A me mai, ma pazienza."

    Premtto che esiste una funzione Excel apposita che fornisce il risultato richiesto.

    Chiedevo a Cren: il valore risultante della funzione Excel sara' mai uguale al valore che risulta dallo sviluppo delle formule sul foglio Excel? Per valutare la congruita' dello scarto effettivo ho predisposto i calcoli comparativi a parte nel foglio Excel allegato.

    P.S. Mi scuso dell'argomento banale per gli econometristi, ma da una ricerca effettuata con il motore di ricerca del FOL non avevo trovato ancora alcun approfondimento sull'argomento: verrebbe da dire la duration, questa sconosciuta
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  2. #2

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    Sono contento che qualcuno si interessi all'argomento. In tutta onestà, io la duration l'ho sempre calcolata carta e matita alla mano, col solo ausilio di una calcolatrice. Lo stesso per la convexity. L'argomento è più di finanza matematica che non di econometria, ma in questa sezione confluisce sempre tutto ciò che richiede conti più sofisticati di un prodotto e un quoziente (di solito si passa in econometria appena si annusa la necessità di usare la radice quadrata ). Posso provare a dare una spiegazione al perchè talvolta ci sono diversi risultati per la duration: il problema principale è che il prezzo tel quel di un titolo obbligazionario può essere calcolato in regime di capitalizzazione composta o in regime di capitalizzazione esponenziale. Le due metodologie non sono affatto equivalenti, per il semplice motivo che, per renderle equivalenti, si rende necessario impostare in via preliminare una opportuna equazione per determinare il cosiddetto "tasso equivalente". Tant'è vero che il TIR di un bond in capitalizzazione esponenziale prende un nome differente dal suo analogo per la capitalizzazione composta, e si chiama yield to maturity. Detto questo, un metodo svelto per avere la duration è considerarla per quello che è: una media ponderata delle date dei flussi di cassa. E quindi moltiplicare ogni data per la sua cedola, sommare il tutto e dividere per il prezzo del bond. Qui viene il problema: per semplice analisi matematica, la capitalizzazione esponenziale è simile a quella composta quando la frequenza dei flussi di cassa è elevata, ma quando è, mettiamo, semestrale, se non si usa un tasso equivalente le due tecniche danno risultati diversi per il prezzo del bond. E siccome la duration si porta il prezzo al denominatore, la scelta del regime determina una differenza di valore non trascurabile.
    Ultima modifica di Cren; 05-10-10 alle 18:46

  3. #3
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    Sono contento che qualcuno si interessi all'argomento. In tutta onestà, io la duration l'ho sempre calcolata carta e matita alla mano, col solo ausilio di una calcolatrice. Lo stesso per la convexity.

    Entrambi i nostri metodi per calcolare la duration, cioe' il metodo che tu descrivi (dove ti preoccupi di usare il calibro delle leggi di capitalizzazione) e il metodo da salumaio che utilizzo io attraverso l'uso di Excel, non appaiono all'altezza della situazione, ovvero non sembrano possedere i requisiti di irreprensibilita', ne' formale e nemmeno sostanziale, tali da poter passare con successo un esame di primo anno universitario.

    La confusione massima e' ingenerata dal signor Guglielmo de Cancellis, il quale nella sua Guida al prodotto "Excel"lente fornisce ben 2 funzioni dedicate (Durata e Durata m.) rispetto alle quali (1) non produce i necessari riferimenti bibliografici e (2) si inventa una sua particolarissima definizione

    "La durata modificata viene definita nel modo seguente (vedi Guida):
    Duration M = Durata/1+(Rendimento/pagamenti per anno)"

    Il calcolo corretto della durata effettiva, o "duration" di un titolo obbligazionario come il BTP non puo' prescindere da un corretto processo di **attualizzazione*** dei flussi di cassi attesi parametrandoli sulla base del riferimento della struttura a termine della curva dei rendimenti.

    Rimanendo sempre nel campo delle spiegazioni dummies sull'argomento duration, cosi' come avevamo cominciato, appare evidente che incassare una cedola di tasso "k" tra 2 anni rispetto a tassi di mercato di confronto IRS del 1,29% su 2 anni misurati oggi non e' la stessa cosa che percepire una cedola analoga ad un tasso di mercato del 2,50% tra 10 anni.

    Ottimo comunque il tuo riscontro all'argomento dei BTP, titoli non a reddito variabile che nessuno, o almeno nessuno dei lettori di questo forum di Finanza On Line, pare aver mai posseduto nel proprio portafoglio da poter eventualmente interessarsi all'argomento da me proposto.
    (..ma e' davvero strano ? Forse perche' le azioni renderanno davvero cosi' tanto su orizzonti temporali lunghi oppure hanno reso cosi' tanto negli ultimi 10 anni ? )
    Ultima modifica di P.A.T.; 04-10-10 alle 13:49

  4. #4

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    Citazione Originariamente Scritto da P.A.T. Visualizza Messaggio
    Entrambi i nostri metodi per calcolare la duration, cioe' il metodo che tu descrivi (dove ti preoccupi di usare il calibro delle leggi di capitalizzazione) e il metodo da salumaio che utilizzo io attraverso l'uso di Excel, non appaiono all'altezza della situazione, ovvero non sembrano possedere i requisiti di irreprensibilita', ne' formale e nemmeno sostanziale, tali da poter passare con successo un esame di primo anno universitario.

    La confusione massima e' ingenerata dal signor Guglielmo de Cancellis, il quale nella sua Guida al prodotto "Excel"lente fornisce ben 2 funzioni dedicate (Durata e Durata m.) rispetto alle quali (1) non produce i necessari riferimenti bibliografici e (2) si inventa una sua particolarissima definizione

    "La durata modificata viene definita nel modo seguente (vedi Guida):
    Duration M = Durata/1+(Rendimento/pagamenti per anno)"
    I nodi vengono al pettine, forse in modo coerente. Quando, infatti, si ricava l'espressione della duration in modo analitico mediante sviluppo in serie di Taylor del secondo ordine, si verifica un evento abbastanza interessante: scaturisce direttamente dall'utilizzo della derivata prima del corso secco rispetto al tasso d'interesse per ricondursi alla formula della duration. In cosa consiste l'evento interessante? Semplice: se si utilizza il regime di capitalizzazione esponenziale, la duration è la media ponderata che usiamo per calcolare quando effettivamente ci appropriamo del "nocciolo" della cassa che il bond ci garantisce (se ci arrestiamo al primo ordine). Se si utilizza il regime di capitalizzazione composta, però, la derivata del saggio di capitalizzazione/attualizzazione rispetto al tasso d'interesse da inserire nello sviluppo in serie non è uguale a se stessa come invece accade per l'esponenziale (a meno del solito t.)... Indovina cosa avanza? Proprio un ulteriore 1/(1 + i) (chi ha masticato da poco un po' di derivate "a mano" riconosce al volo da dove viene)! Quando si calcola la modified duration, inevitabilmente la canonica duration è corretta da quel fattore. Una di queste sere, quando sono a casa, vedo di recuperarti tutta la spiegazione analitica e la giustificazione formale di quella correzione. A quel punto le formule dovrebbero quadrare.

  5. #5
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    Citazione Originariamente Scritto da Cren Visualizza Messaggio
    Quando si calcola la modified duration, inevitabilmente la canonica duration è corretta da quel fattore.
    Una domanda da vero e proprio dummy: quando si parla di durata modificata, chi e' che ha stabilito (il come e' oggetto discussione) lo standard di riferimento della modifica apportata?

    Questa richiesta per capire se la modifica alla duration originaria e' di fatto una standardizzazione di metodi o procedure e non un procedimento arbitrario, come ad esempio accade sul FOL dove di VAR "modificati" ne stanno comparendo come i porcini a settembre, uno alla settimana.

    Negli anni 30 del secolo scorso il signor M. (esatto, proprio quello il cui acronimo compare nella fuzione di Excel) aveva stabilito la duration non modificata, mi pare di ricordare, attraverso la canonica formula dei flussi di cassa dei BTP o altri titoli a reddito fisso ricondotti ad uno zero coupon bond equivalente, come nello sviluppo contenuto nel foglio Excel allegato.

  6. #6

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    Citazione Originariamente Scritto da P.A.T. Visualizza Messaggio
    Una domanda da vero e proprio dummy: quando si parla di durata modificata, chi e' che ha stabilito (il come e' oggetto discussione) lo standard di riferimento della modifica apportata?
    Il ragionamento è il seguente: la duration di Macaulay richiede di esplicitare lo yield to maturity y di un'obbligazione, quindi di calcolare la duration D(Mac.) utilizzando detto tasso y per scontare ogni flusso di cassa x. Tuttavia il metodo di Macaulay, molto comodo per alcune proprietà relative al calcolo della volatilità ΔP mediante sviluppo in serie del second'ordine, presuppone che le cedole x siano corrisposte con flusso cedolare continuo (i.e. VA(x) = xexp(rT)). In realtà le cedole sono corrisposte con frequenza m. Ne segue che la modified duration è una naturale conseguenza di questo fenomeno, tale per cui

    Mod.D = D(Mac.)/(1 + y/m) = D(Mac.)/(1 + i)

    Diciamo quindi che gli "autori" di questo bordello sono due:
    1. l'analisi infinitesimale che spinge ad usare l'esponenziale nel passaggio al limite della frequenza delle cedole;
    2. l'essere umano che, per semplicità contabile e gestionale, preferisce indebitarsi con cedole a bassa frequenza e quindi usare la capitalizzazione composta anzichè la continua.
    Ultima modifica di Cren; 05-10-10 alle 18:47

  7. #7
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    Citazione Originariamente Scritto da Cren Visualizza Messaggio
    Il ragionamento è il seguente: la duration di Macaulay richiede di esplicitare lo yield rate y di un'obbligazione, quindi di calcolare la duration D(Mac.) utilizzando detto tasso y per scontare ogni flusso di cassa x. Tuttavia il metodo di Macaulay, molto comodo per alcune proprietà relative al calcolo della volatilità ΔP mediante sviluppo in serie del second'ordine, presuppone che le cedole x siano corrisposte con flusso cedolare continuo (i.e. VA(x) = xexp(rT)). In realtà le cedole sono corrisposte con frequenza m. Ne segue che la modified duration è una naturale conseguenza di questo fenomeno, tale per cui

    Mod.D = D(Mac.)/(1 + y/m) = D(Mac.)/(1 + i)

    Per semplicita' contabile e gestionale potremmo forse scomputare dal tasso di rendimento interno il tasso "senza rischio" di riferimento?

    Mod.D = D(Mac.)/(1 + (y-rf)/m)

    Oppure, senza ricorrere alle espansioni di Taylor o regressioni (computazionalmente entrambe pesanti per delle query in real time da non dover usare l'aborrito VBA) misurare i flussi cedolari attesi delle due curve, calcolando i flussi di cassa k1,k2..kn moltiplicati per ^(-rf*m). A quel punto la duration modificata potrebbe essere calcolata con il cash flow scontato al tasso free-risk nel modo tradizionale.

    In ogni caso, a prescindere dalle tue buone intenzioni, la tua spiegazione che mi hai fornito e che sicuramente gode di irreprensibilita' teorica non mi convince del tutto, perche' ritengo che per scontare il flusso cedolare per titoli a reddito fisso diversi dai titoli benchmark sia indispensabile conoscere l'informazione dei tassi di mercato del free-risk (o tassi IRS, o l'inflazione, etc.) per attualizzare correttamente tutti i cash flow attesi.

    Occorrerebbe una sistemazione piu' generale della duration modified per tutti i titoli a reddito fisso con un payoff di cedole a scadenza di cui i BTP costituirebbero comunque una casistica. Oramai da troppo tempo abbiamo minimo 150 punti base di maggior rischio sul nuovo free-risk che e' diventato il Bund tedesco.

    In conclusione, credo che le esercitazioni teoriche sul calcolo della duration contenute nei libri andassero bene negli anni 2000 dopo l'unificazione europea, quando gli spread erano di 20-30 bp.

    Al giorno d'oggi la duration per titoli a grosso rischio come i BTP (ricordo prob. >15% di fallimento entro 5 anni dell'Italia) andrebbe calcolata in un modo diverso (non so esattamente ancora come) ma che tenesse assolutamente in considerazione l'informazione contenuta nella curva dei tassi del BUND tedesco oppure la curva dei tassi IRS per attualizzare i cash flows attesi.


    P.S. Forse l'equivoco di Excel con la sua enigmatica funzione "Durata M." e' che non risulta chiaro - almeno ai non addetti ai lavori come me - se "M." stia per

    1) Macauley
    2) Modified Macauley Duration
    3) Modified Duration piatta.

  8. #8
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    Ah, rileggendo dimenticavo i ringraziamenti.

    Grazie per la chiarezza e l'eleganza delle tue spiegazioni, pur se le informazioni in tuo possesso omettono le informazioni sul free risk nel calcolo della duration modificata, a cui invece io sembro attribuire, a torto o a ragione, molta importanza.

    Almeno in periodi storici come l'attuale, in cui i titoli di stato sono delle volte considerati molto meno sicuri delle obbligazioni aziendali (cd. "corporate") .

  9. #9

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    Effettivamente non ho preso in considerazione la scomposizione dello yield to maturity in tasso privo di rischio e premio per il rischio. E' bene in ogni caso specificare che le misure di duration sono indipendenti dallo spread di credito dell'emittente in questa accezione: y o i hanno già dentro EURIBOR + credit spread. Di fatto ogni forma di duration è una misura spot che non tiene conto nè di un temporaneo disallineamento della curva di spread rispetto a una certa scadenza nè di una esagerata probabilità di default o sopravvivenza dell'emittente rispetto alla realtà (e.g. probabilità implicite nei prezzi dei CDS). Tutto riconduce a stimare correttamente l'unico elemento aleatorio nella valutazione di un plain vanilla: il premio per il rischio. Quando calcoli la duration, quale che sia la forma di capitalizzazione scelta e quale che sia il tasso di attualizzazione che scegli, dai per scontato di conoscere il valore esatto della struttua dei tassi per ogni scadenza. E' chiaro che invece è proprio quella la vera incognita che "raccogli" in qualche modo dai prezzi già a mercato e che vai a usare per il calcolo della duration.

    In definitiva, se vogliamo abbozzare una forma di procedimento, dobbiamo ricondurci alle tecniche "classiche". Faccio un esempio:
    1. spline cubica o polinomiale, o anche Nelson-Siegel, per le scadenze di cui non abbiamo zero coupon;
    2. il tasso di sconto è comprensivo di risk free + spread;
    3. duration "classica".

    Senza la necessità di trovare un IRR (= TIR) all'obbligazione che sia continuo o discreto, possiamo evitare di porci problemi di modified duration o di duration di Macaulay. In questo modo si può discutere della sola duration.
    Ultima modifica di Cren; 05-10-10 alle 18:47

  10. #10
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    Effettivamente non ho preso in considerazione la scomposizione dello yield rate in tasso privo di rischio e premio per il rischio.
    E per fortuna che precedentemente avevi scritto che l'argomento non e' di econometria.


    Citazione Originariamente Scritto da Cren Visualizza Messaggio
    E' bene in ogni caso specificare che le misure di duration sono indipendenti dallo spread di credito dell'emittente in questa accezione: y o i hanno già dentro EURIBOR + credit spread.

    Forse le misure di durata che ci ha insegnato a calcolare Guglielmo de Cancellis saranno indipendenti dal credit spread (e se manca l'input per la scomposizione dello yield non potrebbe essere altrimenti), ma le misure di durata che sono elencate sul database Thomson Reuters - e che sono comunemente accettate dai gestori professionali obbligazionari - sono del tutto diverse e mai comparabili con gli output del foglio Excel che ho preparato a scopo didattico.

    Io direi di fermarci qui ed aspettare se casomai passasse da queste parti qualcuno piu' preparato di noi.

    Io avrei abbozzato anche la possibile soluzione della quadra (scontare i cash flow attesi al tasso del credit spread mi fornisce risultati abbastanza vicini al Thomson) ma aspetto gli auspicati commenti prima di mostrare i calcoli precisi che ho fatto.

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