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Gianni78bari

PERCHE' IL PREZZO DI UNA CALL NN DIPENDE DALLE PROBABILITA' DI SALITA DEL SOTTOSTANTE

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Prima di passare dall'equazione di Black &Scholes alla formula finale usata dai calcolatori di opzioni più comuni è opportuno approfondire un aspetto spesso dato per scontato quando si parla di Black Scholes e proprio per questo si cercherà di farlo affrontando la questione in modo diverso dal solito per arrivare a capirne le motivazioni.
Stiamo parlando dell'”idea” di neutralità al rischio ed in particolare del fatto poco digeribile che ad un titolo che ha una maggiore probabilità di salire (...maggiore probabilità di salire secondo analisti, senso comune, dati micro e macro ecc.) e quindi di finire in-the-money NON corrisponde una opzione call che a parità delle altre condizioni ha un prezzo più alto.
Detto in altre parole il valore della call non dipende da quante probabilità ci sono che il sottostante salga di prezzo, ma solo dalla volatilità e dalla distanza dello strike dal prezzo iniziale.
In primis analizziamo meglio il concetto di aspettativa del prezzo a scadenza.
Le probabilità che un prezzo salga o scenda non saranno mai oggettive. Ognuno di noi definisce le proprie sulla base delle aspettative, dei bias, delle convinzioni e delle analisi che ne sono presupposto e che ne conseguono.
In particolare quando dico che secondo me il titolo Acme ha il 50% di probabilità di essere sopra lo strike a scadenza non vuol dire niente; sono numeri a caso che non hanno punti di riferimento e quindi quel mio 50% non ha più valore del 5% di un'altra persona se non specifico i parametri che utilizzo per tirare fuori quel dato.
Quindi il primo passo da fare è individuare un modello descrittivo associabile al comportamento del sottostante. B&S come visto si rifà:

1 alla random walk theory,
2 all'efficienza debole di mercato che porta
3 alla legge del prezzo unico (no arbitraggio) e
4 alla distribuzione normale dei rendimenti dedotta dal teorema del limite centrale (distribuzione normale che come spiegato nei post precedenti implica che ai prezzi azionari venga associata una distribuzione lognormale). In questo modo si definisce un sistema di riferimento probabilistico basato sulla distanza dal valore atteso misurata in deviazioni standard.

Il valore atteso dei rendimenti (ovvero la media della distribuzione) rappresenta il valore più probabile, mentre i valori che si allontanano da tale media hanno una probabilità via via minore, in modo simmetrico; ciò vuol dire che se la media del rendimento è ad esempio 0%; i valori -1% e +1% avranno la stessa probabilità di verificarsi.
Non a caso ho preso 0% come esempio: se non esiste drift positivo (cioè la tendenza a salire nel lungo periodo) il valore atteso sarà il valore attuale ed il rendimento atteso sarà nullo.
Quindi nel nostro modello, in mancanza di drift, ciò che ha più probabilità di verificarsi è che il rendimento sia uguale a zero.
Una volta accettato che i rendimenti hanno una distribuzione normale (e qui sta la prima forzatura) basta prendere il solito grafico e calcolare le probabilità che il prezzo sia sopra un certo valore (ovviamente tale valore cambia a seconda della volatilità ovvero della deviazione standard che associamo alla distribuzione normale sulla base dei dati storici oppure delle volatilità implicite).
Ad es. nella solita immagine allegata, la probabilità che il prezzo sia superiore ad 1 si calcola come sappiamo facendo la differenza tra l'area totale sotto la campana e l'area nella parte tratteggiata.
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La difficoltà di questo approccio nasce dall'esistenza del drift positivo, cioè della tendenza del sottostante ad avere un rendimento atteso maggiore di zero, come dall'immagine di seguito:
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Del drift è stato parlato precedentemente (qui i link https://www.finanzaonline.com/forum/...-il-drift.html link FOL
PARTE 3: IL DRIFT. Ricapitolando quello che e stato… | by Giovanni Berardi | Mar, 2022 | Medium link MEDIUM).
Degli aspetti evidenziati ci concentriamo sul premio al rischio facendo un esempio.
A una persona viene data la possibilità di scegliere tra due scenari: uno con un premio certo e uno con un premio più grande ma legato all'accadimento di una condizione, venendo a mancare la quale non riceve nulla.
Nel primo scenario, la persona riceve 50 euro certi, incondizionatamente. Nello scenario incerto viene lanciata una moneta per decidere se la persona riceve 100 euro oppure rimane a bocca asciutta. Il valore atteso (come lo abbiamo definito nei post precedenti) per entrambi gli scenari è di 50 euro (semplicemente la media aritmetica).

Si dice che una persona è:

1 avversa al rischio se accetta una somma inferiore al valore atteso, cioè i 50 euro (ad esempio 40), piuttosto che rischiare di non ricevere nulla.

2 neutrale al rischio se sceglie indifferentemente tra la scommessa e i 50 euro certi (in questo caso cioè che conta è che il valore atteso sia lo stesso tra scenario incerto e scenario certo).

3 “amante” del rischio, se accetta la scommessa con valore atteso 50 anche quando il pagamento garantito è superiore a 50 euro (ad esempio 60 euro).

Come si può notare, ricordando l'esempio di uno dei post precedenti, ogni volta che si partecipa ad una lotteria o si fa una scommessa sportiva si agisce come amante del rischio perchè il costo per parteciparvi è sempre superiore al valore atteso.

Una persona avversa al rischio abbiamo visto essere disposta ad accettare ad esempio 10 euro meno del valore atteso pur di avere la facoltà di scegliere il premio certo.

Facciamo un altro esempio mutuato dalla finanza:
se ho un bond risk free che dà un rendimento certo del 5% e una azione che promette un rendimento atteso ugualmente del 5% (media tra 10% dello scenario positivo e 0 di quello negativo) poiché è ragionevole pensare che chi investe sia avverso al rischio, la scelta ricadrebbe immancabilmente sul bond.
L'azione necessita di un valore atteso più alto per attirare gli investitori (ad es. il 7%).
La differenza tra il tasso risk free del bond e il rendimento dell'azione viene detto risk premium (in questo caso è 7-5=2%).
Se bond e azione hanno lo stesso rendimento atteso la carenza di domanda per l'azione fa abbassare il prezzo e quindi aumentare i rendimenti. Infatti se il prezzo di una azione è rappresentato dagli utili futuri scontati, una diminuzione del prezzo attuale a parità di altre condizioni (previsioni di redditività ecc.) non rappresenta altro che un aumento del tasso di rendimento al quale si scontano tali utili.

Risulta quindi chiaro che in un mondo avverso al rischio se la volatilità di un asset è maggiore (volatilità = rischio), pretenderò un rendimento più alto rispetto all'asset con volatilità minore.
Invece in un mondo neutrale al rischio richiederò lo stesso rendimento qualunque sia la volatilità e tale rendimento verrà dunque a coincidere con quello risk free.

L'avversione al rischio fa il prezzo sia degli asset rischiosi che di quelli stile treasuries/bund. Al netto degli interventi delle Banche Centrali...
Se di colpo tale avversione venisse meno (anche artificialmente con l'intervento delle Banche suddette) i rendimenti attesi azionari calerebbero inevitabilmente per la legge di mercato, a causa dell'aumento della domanda e conseguentemente dei prezzi.
Facciamo un esempio reale: in Giappone nonostante i tassi di interesse siano ormai da tempo paralleli a quelli europei (in futuro vediamo che succede da noi con l'attuale inflazione) le azioni hanno un rendimento atteso più contenuto.
Una spiegazione potrebbe essere data dal fatto che la banca centrale giapponese ha compiuto il passo che FED e BCE si sono astenute dal fare anche in tempi di pandemia; i nipponici sono intervenuti sul mercato azionario tramite l’acquisto di ETF.
Ci sono stime sull'impatto che avrebbe l’ingresso da parte delle banche centrali occidentali nei rispettivi mercati azionari, cosa da approfondire in separata sede ma che al momento sembra quantomeno improbabile.


Tornando allora alle opzioni possiamo fare lo stesso esempio fatto a proposito dei 50 euro certi e dei 100 incerti applicandolo prima al caso esemplificativo del modello binomiale ad un passo per poi passare a quello che succede nel modello di black-scholes.

Infatti se consideriamo l'estrema semplificazione di un mondo in cui esistono solo l'istante iniziale t0 e quello a scadenza t1 sappiamo che il sottostante ha tre possibili valori: quello certo al tempo t0 e i due valori incerti al tempo t1 (nell'esempio che facevamo avevamo il sottostante S= 100 al tempo iniziale t0, mentre il valore a scadenza poteva essere S=110 oppure 90).
L'opzione a scadenza vale 10 oppure 0. Ergo dal discorso fatto nell'esempio sopra il valore atteso è 5 e un soggetto avverso al rischio (ponendo un tasso risk free uguale a zero) sarebbe disposto a pagare meno di 5, ad esempio 3. Ma tale valore come detto darebbe origine ad un arbitraggio.

Qui il primo post

https://www.finanzaonline.com/forum/...-un-passo.html link FOL

PARTE 1: BLACK-SCHOLES, MERCATO E PARALIPOMENI | by Giovanni Berardi | Mar, 2022 | Medium link MEDIUM

nel post si trova la spiegazione di come si calcola il prezzo dell'opzione in un mondo a due soli stati utilizzando alternativamente 1) il metodo dell'hedging, con un semplice sistema a due equazioni, e 2) il metodo alternativo della media dei valori attesi che nel nostro caso coincide precisamente con la media aritmetica degli outcome: [10+0]/2. Questo perchè consideriamo un intervallo atteso simmetrico rispetto al valore del sottostante al momento iniziale, coerentemente con la simmetria della campana di gauss. E sempre coerentemente con la curva normale i valori a scadenza 10 oppure zero vengono considerati avere le stesse probabilità di verificarsi. Lo spostamento dei due estremi verso l'alto o verso il basso, ad es. 115 e 95 con valore iniziale sempre 100, rappresenta un cambiamento della distribuzione di probabilità con conseguente diverso valore della call, come spiegato nel primo post.

Cinque è quindi il valore che è disposto a pagare in un mondo gaussiano un soggetto neutrale al rischio; valore che non dà origine ad arbitraggio. Il che vuol dire che anche se in un mercato possiamo avere soggetti con diversa “filia” per il rischio saranno però tutti d'accordo che il prezzo giusto dell'opzione è 5, altrimenti ci penserà l'arbitraggio a riportarlo sui giusti passi (l'arbitraggio e la “completezza” dei mercati, cioè la possibilità di replicare perfettamente uno strumento derivato usando le attività finanziarie sottostanti. E' chiaro che si tratta semplicemente di punti di riferimento teorici e i prezzi li fa il mercato, B&S si adegua a quello che decide il mercato aggiustando le volatilità, quindi non sapremo mai tramite questa formula se una opzione è realmente sopravvalutata o meno).

In un mondo siffatto l'hedging non è dinamico, viene effettuato una volta e basta legando biunivocamente opzione e sottostante.
Da un punto di vista grafico la situazione sopra è descritta dall'immagine seguente:
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Il portafoglio rimane congelato fino a scadenza quando si può verificare una delle due situazioni sopra con S0u e S0d che rappresentano i nostri 110 e 90. E' come se il tempo passasse a salti e tutto ciò che succede nel mezzo non contasse nulla. Gli outcome possono essere solo due e non esiste drift.

Nella realtà le cose funzionano ovviamente in modo diverso. Il tempo ha un andamento continuo (come continui e senza salti vengono presupposti i movimenti del prezzo, cosa non aderente al vero) e gli outcome possono essere infiniti ognuno con una data probabilità. Il tutto sintetizzato dall'immagine sotto (notare che trattandosi di prezzi e non di rendimenti la distribuzione di probabilità come sappiamo è lognormale).
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La formula di B&S non fa altro che riprendere il ragionamento utilizzato nella ultrasemplificazione binomiale sopra trasportandolo nel continuo.
Questo significa che nella realtà il portafoglio formato da (Delta*S)-C è risk free solo per un intervallo infinitesimo di tempo. Il sottostante si muove cambiando di prezzo e il tempo passa, il valore della call cambia e bisognerà aggiustare la quantità di S detenuta. Se però il valore della call si scostasse da quello calcolato tramite il portafoglio risk free ecco che il mio delta hedging continuo, cioè il continuo aggiustamento della quantità di sottostante detenuto, mi permetterebbe di fare un guadagno da arbitraggio, perchè ad esempio in caso di call prezzata ad un prezzo superiore potrei vendere la call e facendo delta hedging dinamico fino a scadenza potrei ritrovarmi con la differenza tra il prezzo venduto ed il fair value.
A scadenza la call varrà zero oppure la differenza tra sottostante e strike. Nel primo caso è ovvio che ci abbiamo guadagnato non dovendo nulla all'acquirente. Nel secondo caso il delta hedging dinamico mi permette di arrivare a scadenza con la quantità esatta di sottostante necessaria a compensare il valore della call finita ITM. Infatti un delta hedging correttamente eseguito (IN TEORIA, con tutti i presupposti di assenza di commissioni, ribilaciamento istantaneo ecc. oltre che di aderenza dei rendimenti alla gaussiana) fa sì che l'incasso della call venduta più il valore della quantità di sottostante di cui ci si ritrova in possesso alla fine delle operazioni di hedging eguagli perfettamente il valore della call ITM. Se la call fosse venduta al di sopra del fair value sarebbe teoricamente possibile un guadagno da arbitraggio. Discorso speculare con una call sottovalutata.
In tutto questo le aspettativa sulla direzionalità del prezzo e l'avversione al rischio (con tutto quello che ne consegue in termini di drift) non hanno alcun peso perchè l'hedging segue passo passo il prezzo del sottostante. Il valore dell'opzione è sempre lo stesso qualunque drift venga considerato, quello che conta è il delta che moltiplichiamo per il sottostante per mantenere costante il valore del portafoglio di replica e quello come già più volte ripetuto dipende da come modelliziamo il prezzo in termini di distribuzione di probabilità (e come sappiamo B&S sceglie la distribuzione lognormale insita nel moto browniano geometrico).

La realtà però si discosta dalla teoria il tasso di rendimento non è indifferente ed ovviamente viene richiesto un premio al rischio per detenere azioni e ciò fa sì che i payoff a scadenza cambino perchè la distribuzione di probabilità si sposta verso l'alto.
Nella figura seguente cambia anche la volatilità (l'ampiezza della campana), ma nel nostro ragionamento rimane uguale.
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Il valore di una call ATM strike S0 in figura sopra è dato dal valore di ogni singolo payoff possibile a scadenza ponderato per la probabilità che si verifichi in base alla distanza dallo strike (nel prossimo post analizzeremo passo passo che la formula per il calcolo del valore di una opzione ricavata dall'equazione di B&S non fa altro che calcolare quanto appena definito);
Il risultato ottenuto è scontato al tasso di rendimento avverso al rischio.
Dall'immagine sopra possiamo vedere che un tasso superiore al risk free fa spostare in alto la distribuzione. Quindi un payoff che con la distribuzione neutrale al rischio (r=0) aveva poche probabilità di verificarsi, ora si ritrova non più sulla coda ma al centro. (per semplicità non ho preso una distribuzione lognormale come richiederebbero i prezzi).
Però la ponderazione più pesante che determina giustamente un aumento del valore atteso a scadenza deve essere scontata per un tasso maggiore di quello risk free, il che riporta il valore della call esattamente al valore calcolato con la distribuzione neutrale al rischio scontata al tasso risk free.
Tautologicamente il discorso si applica con qualunque risk premium ed è esattamente quello che viene detto nell'Hull decima edizione originale a pag. 333: ”When we move from a riskneutral
world to a risk-averse world, two things happen. The expected payoff from the
derivative changes and the discount rate that must be used for this payoff changes. It
happens that these two changes always offset each other exactly”.

E il motivo sta proprio nella premessa, cioè che opzione e sottostante si muovano parallelamente senza possibilità di divergenza pena l'arbitraggio.
Tutto ciò dovrebbe essere spiegato introducendo il teorema di Girsanov, il cambio di misura di probabilità, la derivata di Radon-Nykodim, ossia formalizzando il passaggio da un misura di probabilità reale ad una misura risk-neutral, ma qui faccio un passo indietro e lascio a chi sa farlo come si deve.

Quale è il punto cruciale di tutto questo discorso?
Il prezzo dei derivati così come viene analizzato ci fornisce una indicazione di quale è il fair price nel momento in cui si fa la compravendita del derivato oltre ad una serie di derivate (le greche) coerenti con le ipotesi di fondo tra cui completezza dei mercati, non arbitraggio, normalità dei rendimenti, che ci danno indicazioni approssimate su come può muoversi il valore dell'opzione.
Si tratta sempre di un fair price coerente con la normalità dei rendimenti;
normalità dei rendimenti che però non viene rispettata dai prezzi. Motivo per cui ci ritroviamo con lo smile di volatilità che non dovrebbe esistere se il presupposto fosse rispettato.
La formula non ci dice comunque nulla di preciso su quale sarà la probabilità reale che una opzione sia ITM oppure OTM a scadenza perchè non prende in considerazione l'avversione al rischio dei trader:
il valore attuale della call è sempre lo stesso a prescindere da quale sia il drift E NE ABBIAMO VISTO IL MOTIVO, ma le probabilità che la call scada ITM sono effettivamente maggiori se c'è un premio al rischio e quindi il drift reale sul grafico è più ripido di quello determinato dal tasso risk free.
Dall'ultimo grafico possiamo vedere che il prezzo ha chiaramente più probabilità di finire sopra lo strike considerando il drift reale.

Usare la formula di B&S [in particolare N(d2)] per calcolare le probabilità ITM può essere fuorviante. Le reali probabilità andrebbero calcolate considerando il premio al rischio, cosa però difficoltosa, per usare un eufemismo.

Nel prossimo post analizziamo infine la formula di B&S per una call.

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Updated 10-05-22 at 13:16 by Gianni78bari

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