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Gianni78bari

PARTE 1. BLACK-SCHOLES, MERCATO E PARALIPOMENI: MODELLO BINOMIALE AD UN PASSO

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Visto che spesso si parla di modelli volevo provare a fare una cosa.
Cercare passo passo di spiegare come viene prezzata una opzione con Black Scholes e la logica dietro il modello, utilizzando matematica da scuola primaria.

Partiamo da due ipotesi principali senza le quali il modello non funziona:
1) che non sia possibile fare guadagni da arbitraggio, cioè guadagnare senza rischio negoziando un asset (vedremo avanti con un esempio concreto).
2) che la volatilità del sottostante sia nota, costante e discreta (cioè si muova a balzi nell'unità di tempo)

Detto questo operiamo una iniziale semplificazione estrema (che verrà superata successivamente) ed immaginiamo di considerare solo il tempo presente che chiamo t0 ed il momento della scadenza t1.
Il valore del sottostante al tempo t0 è S=100.
Sappiamo che al tempo t1 il sottostante potrà avere solo 2 valori: S=110 ed S=90; cioè quella che chiamiamo volatilità attesa.
Se considero una call ATM, io so che al tempo t1 varrà 10 nel primo caso e zero nel secondo (scadrà ITM oppure OTM).

Come faccio a determinare il valore dell'opzione al tempo presente t0?
Usando uno strumento di misura. Se devo misurare una lunghezza utilizzo una fettuccia, se devo determinare il peso uso una bilancia, se devo misurare il valore di una opzione uso un asset finanziario che abbia le stesse caratteristiche dell'opzione, asset del quale però conosco già il valore al tempo t0. In particolare mi serve un asset che a scadenza abbia lo stesso profilo dell'opzione: valga zero, oppure valga la differenza tra spot e strike.
Questo asset è in realtà composto da 2 strumenti differenti: azioni e liquidi al tasso risk free (che per semplicità poniamo uguale a zero). E' possibile operare un altro tipo di approccio, ma questo risulta a me più semplice.
Dobbiamo trovare un portafoglio composto da un importo liquido ed un controvalore di azioni tale che eguagli il valore della call.
Tradotto in simboli abbiamo L=liquidi C= call S= stock (o sottostante) D= delta (o frazione di sottostante).
Al tempo t0 il portafoglio composto da L+D*S deve essere uguale a C.
Al tempo t1 considerando la volatilità attesa avremo:
L+D*110=10 oppure L+D*90=0

Possiamo trovare il valore di D con un semplice sistema cioè:
L=-D*110 + 10
L= - D*90

Uguagliamo i secondi membri ed abbiamo:
-D*110 + 10= -D*90 ---> D= 0,5
Questo è il delta del nostro portafoglio da moltiplicare per il sottostante. Da qui posso ottenere il valore di L che sarà uguale a -45.
Quindi al tempo t0, con S=100, L= -45 e D=0,5 il nostro portafoglio è formato da un controvalore di 50 euro di azioni e 45 euro di liquidi presi in prestito ad interessi zero.
La nostra call varrà quindi 5 euro (0,5*100-45= Call → C=50-45=5)
Perchè deve valere necessariamente 5 euro?
Se la call valesse ad esempio 10 euro, potrei prendere a prestito 40 euro e vendere una call per comprare 50 euro di azioni. A scadenza avrò guadagnato in qualunque caso con un guadagno netto e risk free di 5, che può essere considerato un guadagno da arbitraggio ottenuto qualunque sia l'esito al tempo t1 .

Infatti
con S=110--> vendo le azioni a 55, ripago il debito di 40 e pago i 10 euro della call con un guadagno di 5.
Con S=90--> la call vale 0, vendo le azioni a 45 e ripago il debito con un guadagno di 5.
Se invece prezzo correttamente la call a 5 avro:

con S=110--> vendo le azioni a 55 e devo ripagare un debito di 45 per comprarle (perchè dalla call ho incassato solo 5). Con i 10 avanzati “pago” la call venduta andata ITM
con S=90 → la call vale 0, vendo le azioni a 45 e ripago il debito. In entrambi i casi non mi rimane niente come è giusto che sia.

Va da sé che una call sottostimata consente l'arbitraggio opposto.
Shorto a 50 e compro la call ad esempio a 3. A scadenza col sottostante a 110 guadagno 10-3 dalla call e copro lo short con 5. In questo caso ho 2 di guadagno.
Con sottostante a 90 ricompro a 45 – 3 della call il guadagno è sempre 2. Se la call valesse 5 avrei la posizione in equilibrio come da ipotesi di non arbitraggio.

Motivo per il quale la call deve valere esattamente quanto prescritto dal conteggio ai fini dell’ottenimento di portafoglio neutrale al rischio, che è quello che permette di escludere gli arbitraggi in un senso o nell'altro.

Lo stesso discorso è possibile farlo considerando quali sono il massimo valore ed il minimo valore che può avere una opzione.
Consideriamo sempre una call per semplicità.
Sempre per una questione di arbitraggio la call non potrà mai valere più del sottostante. Così ad esempio se il sottostante vale 100 in un momento t0, la call non potrà valere più di 100. Il motivo è presto detto: si potrebbe vendere la call a 105 e comprare l'azione a 100. A scadenza se la call è ITM la chiudo con le azioni in mio possesso e trattengo il surplus di 5.
Il limite inferiore è invece dato dalla differenza tra sottostante e strike. Nello specifico è dato tra il massimo valore tra Stock-strike e zero [max(S-K,0)] Questo perchè nel caso di una opzione OTM se sottraggo il valore dell'azione allo strike ottengo meno di zero.
Sempre considerando tasso risk free a zero (altrimenti il ragionamento è leggermente diverso) posso shortare 20 euro di azioni e comprare una call.
Ad es. S=20, K=18 (cioè lo strike ITM).
20-18= 2. Questo è il limite minimo dell'opzione.
Se l'opzione venisse prezzata con un valore inferiore, ad esempio C=1, potrei quindi incassare 20 euro spendendone 1 per la call.
Se a scadenza la call è ITM posso comprare le azioni a 18 chiudendo lo short e ottenere un guadagno dato dai 19 incassati inizialmente (20 euro dallo short meno 1 per l'acquisto della call) ai quali sottraggo i 18 usati per esercitare l'opzione.
Se a scadenza la call è OTM chiudo lo short comprando a mercato ad esempio a 17 ottenendo un guadagno dato dalla differenza tra i 19 incassati inizialmente e i 17 usati per comprare a mercato le azioni. La call vale ovviamente zero.
Ho quindi un guadagno da arbitraggio che viola le nostre ipotesi.

Questo modellino viene chiamato modello binomiale ad un passo. Aumentando indefinitamente il numero dei passi tra il tempo t0 ed il tempo t1 si dimostra che è possibile ottenere la formula di BLACK SCHOLES (SPOILER: BS definisce un modello con delle ipotesi dal quale si ricava un equazione differenziale, da una soluzione della quale si ricava la formula per prezzare l'opzione che è ciò che in ultima analisi viene utilizzato nei calcolatori online).
Tornando all'esempio di sopra risulta chiaro che ci ritroviamo con le variabili che conosciamo con BS: sottostante, tempo a scadenza, strike e volatilità. Ed anche qui quello che in realtà non conosciamo è la volatilità cioè quei due numeretti (110 e 90) che diamo per acquisiti e che invece sono frutto di stima soggettiva (o dell'identità matematica tra prezzo dell'opzione e volatilità implicita)

Poichè consideriamo solo il passo iniziale e quello finale e una volatilità nota e costante il VEGA ed il THETA non hanno peso. Greche di secondo ordine non ne abbiamo perchè consideriamo solo un passo e quindi condizione iniziale e finale. Per averle dovremmo avere anche i passi intermedi. Con BS si passa dal discreto al continuo ed ecco che è possibile derivare quanto si vuole.

Detto questo è però possibile anche in questo caso definire il DELTA come noi lo conosciamo. Se il sottostante è 100, lo strike è ATM (100) e la volatilità attesa mi prezza una azione a 110 o a 90 a scadenza con passi discreti (per questo motivo posso avere solo 2 valori) allora il mio DELTA è dato dal rapporto
L+C/S= DELTA ---> 45+5/100=0,5 (il delta ATM che conosciamo). Per mantenere l'uguaglianza, se aumento di una unità il valore del sottostante portandolo a 101 il valore della call aumenterà di 0,5.
45 + C=0,5*101 → C= 50,5-45=5,5. Cioè la call passa da 5 a 5,5 con aumento di 0,5 come da definizione di delta [CHIEDO SCUSA PER UN REFUSO AVEVO SCRITTO 1 E 1,5 COME VALORI DELLA CALL, CORREGGO IL 16/02/2022]
Possiamo fare un'altra prova. Questa volta poniamo dei valori attesi del sottostante non più simmetrici a scadenza. Immaginiamo che al tempo t0 abbiamo sottostante =100 e strike ATM=100; al tempo t1 abbiamo 110 e 98. Cioè il prezzo è atteso fare un passo verso l'alto piu ampio di quello verso il basso.
In questo caso DELTA sarà uguale a 10/12= 0,83 e la call=1,66
Si può ripetere il discorso di sopra e si ottiene una call che (all'aumentare del sottostante da 100 a 101 ipotizzando un passo intermedio) adesso varrebbe 2,49 con un aumento appunto di 0,83.
La cosa interessante da osservare è che pur trattandosi di call ATM il delta è diverso da 0,5. Questo perchè la volatilità attesa è stata posta non simmetrica in entrambe le direzioni.
Ed è quello che avviene in realtà anche con BlackScholes. Il DELTA ATM non è perfettamente uguale a 0,5 ma devia da questo valore e questo perchè il modello suppone una distribuzione dei prezzi lognormale e tale distribuzione non è simmetrica. Potete provare a rendervi conto di ciò utilizzando un calcolatore online, ciò risulterà evidente prezzando una call ATM e ponendo dei valori di volatilità molto elevati. Ai fini pratici è comunque accettabile approssimare a 0,5 il delta ATM anche se su penny stock et similia (tipo TESLA) in condizioni di alta volatilità i valori si allontanano di molto dallo 0,5.
Utilizzando lo stesso modello possiamo considerare strike diversi dall'ATM.
Se considero uno strike OTM=105, mi ritrovo L=-DELTA*110+5 e L=-DELTA*90. Il valore della call a scadenza è 5 oppure zero. Se si fanno i conti si ha DELTA=0,25. Call=-22,5+25=2,5.
Lo stesso ragionamento si può fare usando un portafoglio P=call short+azioni long. P=-C+DELTA*S --> P=-5+DELTA*110 E P=DELTA*90 ---> DELTA=0.25 --> P=22.5
22.5=-C+0.25*100--> C=2.5.
La call in questo caso vale meno di quella ATM essendo OTM. Con uno strike ITM ad es. a 95 avremmo 5 di valore intrinseco e 2,5 di valore estrinseco.
La premessa del modello di volatilità nota e costante fa sì che oltre 110 nn si può andare. Sappiamo che il sottostante non potrà mai superare quel valore e quindi in quel caso la call vale zero al tempo t0.
Le ipotesi sulla volatilità vengono traslate su BS ed è la ragione dell'esistenza di smile/skew/smirk.
Aggiungo una ulteriore osservazione a proposito di approccio neutrale al rischio.
I modelli che prezzano le opzioni partono dal presupposto che gli attori del mercato sono neutrali al rischio e quindi il valore della call del mio esempio è indifferente a quelle che sono le preferenze rispetto a quanto è il rendimento atteso in relazione alla rischiosità del sottostante. I modelli che prezzano i rendimenti attesi azionari misurano invece proprio la relazione tra il rendimento di un titolo e la sua rischiosità usando, nel caso ad esempio del CAPM, il beta basato su stime storiche.
Ciò vuol dire che in caso di sottostante a 100 e valori attesi al tempo t1 di 90 e 110, il valore della call sarà sempre lo stesso, sia nel caso di probabilità identiche che il sottostante al tempo t1 valga 110 oppure 90, sia che le probabilità siano 1% di sottostante a 110 e 99% di sottostante a 90.
Un approccio che non fosse neutrale al rischio potrebbe calcolare il valore della call al tempo t0 come valore atteso, pesando i due possibili valori a scadenza (tempo t1) con le rispettive probabilità. Quindi se l'analisi dei dati storici determinasse le probabilità dei due valori a scadenza (tempo t1) con 99% a 90euro e 1% a 110euro, avremmo il valore atteso della call con strike 100 calcolato come: 10*0,01+0*0,9= 0,1 (10 centesimi).
I modelli per prezzare i derivati considerano invece come detto il presupposto della neutralità al rischio e quelle che possono essere definite come probabilità neutrali al rischio. Queste probabilità vengono calcolate considerando solo la volatilità (range) attesa. In particolare, nel nostro esempio numerico, abbiamo che la probabilità p di un movimento rialzista è calcolata come rapporto tra il movimento atteso al ribasso cioè 10 ed il range cioè 20. La probabilità neutrale al rischio del movimento al ribasso è 1-p cioè 1-0,5 che è sempre 0,5. Questo perchè consideriamo due intervalli simmetrici. Ergo le probabilità neutrali al rischio considerano i range attesi ma non le probabilità che si verifichino.
Possiamo verificare il risultato ottenuto usando le probabilità neutrali al rischio ponendo i valori attesi del sottostante non più simmetrici a scadenza. Immaginiamo che al tempo t0 abbiamo sottostante =100 e strike ATM=100; al tempo t1 abbiamo 110 e 98. Cioè il prezzo è atteso fare un passo verso l'alto più ampio di quello verso il basso. La probabilità neutrale al rischio p calcolata è 2/12=0,1667. Abbiamo quindi Call=0,1667*10+(1-1,667)*0= 1,66; che è lo stesso valore della call che ottenevamo col procedimento del portafoglio equivalente. Se ponessimo gli stati del sottostante al tempo t1 uguali a 102 e 90 avremmo lo stesso valore trovato nel caso di sottostante stimato a 98 e 110.
p=10/12=0,83; Call=0,83*2+(1-0,83)*0=1,66.
Il valore della call non dipende quindi dalla direzionalità del valore atteso ma dalla volatilità complessiva intesa come range totale atteso.
Gli stessi risultati vengono ottenuti considerando un processo stocastico continuo come è quello (più o meno) del mercato delle azioni. Bisogna evidenziare che gli esempi sopra nel momento in cui pongono una così evidente asimmetria nelle attese presuppongono delle distribuzioni di rendimenti e prezzi diverse dalla normale e lognormale inglobate nel modello BS che invece rappresentano nonostante tutto la migliore approssimazione della realtà.
Considerazioni al riguardo verranno fatte nei post futuri.

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Updated 30-03-22 at 18:02 by Gianni78bari

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