B&S vs Alberi

[inerba]

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[Cren]

Qualcuno saprebbe spiegarmi per quale motivo, a parità di informazioni, prezzare con Black&Scholes restituisce un valore diverso rispetto a prezzare con alberi binomiali (e viceversa)? Un esempio, tanto per capirci. Ho provato a prezzare una put europea a 3 mesi scritta su azione che non paga dividendi quando il prezzo dell'azione è 50$, lo strike 50$, il tasso privo di rischio è 10% e la volatilità è 30% annuo… Ebbene, usando gli alberi il prezzo dell'opzione è 3,07$, mentre usando B&S è 2,37$. Qualcuno saprebbe spiegare la ragione di tale disparità?

Stai sbagliando qualcosa con l'albero binomiale: dovrebbe uscirti lo stesso prezzo di $2,37 anche solo usando una griglia di 100 passi.

Al limite usare un numero troppo basso di passi (ad es. 10) fa scendere il prezzo, non lo fa salire così tanto.

Cosa stai usando? Excel? MATLAB? R? Python?

 

[inerba]

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[Cren]

No, per il momento mi sono limitato al pricing manuale.
Io so che S0=50$, K=50$, r=10%, σ=30% e T=3/12. Allora:
- u=e^(σ√∆t)=e^(0,30√(3/12))=1,1618
- d=1/u=0,8607
- S0u=S0*u=58,09$ con fu=0$
- S0d=S0*d=43,035$ con fd=6,965$
Ne segue che p=(e^rT-d)/(u-d)=0,5467 e quindi f=[0,5467*0$+(1-0,5467)*6,965$]e^(-0,1*(3/12))=3,07$. E lo stesso prezzo si può ottenere costruendo il portafoglio di replica in delta hedging con 58,09$∆=43,035$∆-6,965$ -> ∆=-0,462637.
Non mi sembra sia un errore di calcolo, quindi magari è proprio un errore concettuale…

Ah, ma se è così è presto detto: la convergenza del CRR a B&S si ha solo per un numero sufficiente di passi, con solo un passo come fai tu in pratica ottieni una opzione binaria che non tiene conto di tutti quegli scenari in cui il prezzo termina in punti diversi da "S0u" e "S0d".

A mano, prova con 2 e 3 passi anziché 1 e vedi come ti avvicini gradualmente a B&S.

Gioca con questo codice per fare le simulazioni: CRR convergence , R - rextester

 

[inerba]

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[Cren]

...se ne deduce che portando al limite il modello binomiale il prezzo di un'opzione converge al prezzo calcolato con le formule di Black-Scholes. Tuttavia non so se lo stesso principio può essere applicato anche alle opzioni americane… Cosa si può dire in questo caso? Aumentando il numero di passi la put europea aumenta fino a 3,63$ e la put americana diminuisce fino a 3,63$?

B&S non può essere usato in quel caso perchè non può tenere conto dell'esercizio anticipato, che va a incidere positivamente sul prezzo perchè è una opportunità a favore del compratore e un rischio a favore del venditore (nonostante i casi in cui convenga l'esercizio anticipato siano decisamente pochi e legati principalmente alla presenza di dividendi discreti).

Quindi nel caso di una opzione americana non ci sarà convergenza allo stesso prezzo nemmeno con 10.000 passi: nel tuo caso è giusto che la Put europea valga $3,63, ma quella americana varrà comunque $4,10.

 

[inerba]

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[Cren]

In ogni caso ho ricontrollato i calcoli: dati alla mano, la put americana vale 3,87$.

Con soli 2 passi sì, ma ormai dovresti avere imparato quanto è impreciso fermarsi a 2 passi.