Sull'ipotesi di Riemann

  • Ecco la 60° Edizione del settimanale "Le opportunità di Borsa" dedicato ai consulenti finanziari ed esperti di borsa.

    Questa settimana abbiamo assistito a nuovi record assoluti in Europa e a Wall Street. Il tutto, dopo una ottava che ha visto il susseguirsi di riunioni di banche centrali. Lunedì la Bank of Japan (BoJ) ha alzato i tassi per la prima volta dal 2007, mettendo fine all’era del costo del denaro negativo e al controllo della curva dei rendimenti. Mercoledì la Federal Reserve (Fed) ha confermato i tassi nel range 5,25%-5,50%, mentre i “dots”, le proiezioni dei funzionari sul costo del denaro, indicano sempre tre tagli nel corso del 2024. Il Fomc ha anche discusso in merito ad un possibile rallentamento del ritmo di riduzione del portafoglio titoli. Ieri la Bank of England (BoE) ha lasciato i tassi di interesse invariati al 5,25%. Per continuare a leggere visita il link

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Incluso tra i setti problemi del millenio del Clay Institute, l'annuncio che Sir Michael Atiyah sembra aver trovato la dimostrazione che presenterà oggi al HLF2018. E se fosse valida sarebbe una piccola deviazione dalla statistica che vede il massimo indice di produttività dei matematici in giovanissima età :yes:

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Purtroppo lo streaming live non è accessibile a causa dell'alto numero di accessi al canale HLForum :(.... hanno promesso che lo metteranno su Youtube al più presto.

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Disclaimer: posto qui perchè ricordo che nella sezione qualche appassionato di matematica c'era........qualora O.T. prego la moderazione di cancellare o spostare dove meglio crede :)
 
Diciamo che Sir Michael Atiyah non ha soddisfatto :no: la curiosità destata dal'annuncio.

Ha descritto la possibile dimostrazione (per assurdo) dell'ipotesi di Riemann come corollario di una trattazione più generale di una funzione T (Todd function, da lui stesso definita e la cui validità è ancora tutta da valutare) senza scendere nei dettagli matematici.

Bisognerà attendere ancora per saperne di più e lasciare che gli addetti ai lavori ci studino sopra e facciano le pulci a trattazioni più formali.

Un matematico dice di aver dimostrato l'ipotesi di Riemann, un problema da un milione di dollari - Wired
 
Grazie per la segnalazione!!! :bow::bow::bow:
 
Ha descritto la possibile dimostrazione (per assurdo) dell'ipotesi di Riemann come corollario di una trattazione più generale di una funzione T (Todd function, da lui stesso definita e la cui validità è ancora tutta da valutare) senza scendere nei dettagli matematici.
Mi ha colpito questo sunto:
Looking very briefly at this, it seems to me the critical step is that when applying the Todd function to the Zeta function to get the F function, Atiya claims that within the critical strip the new function should have the property F(2s) = 2F(s) because of convexity of the region, so this should require some properties of the Todd and Zeta functions within convex regions. This may also apply to other functions than the zeta function when composed with the Todd function…

He also says because F(s) is analytic at zero (a property of the Todd function and the Zeta function composed) that together with the above property, if it’s zero at another point in this strip (off the line) then it must be zero at all points in the strip. I don’t quite follow this. There are nonzero analytic functions with more than one zero, but I’m guessing within a strip they don’t have the F(2s) = 2F(s) property. It’s been too long since I thought about complex analysis to know whether those two properties imply identically zero.

The real question is what is the special property of the Todd function that allows you to compose it with the Zeta function and get a new function with certain properties above? This is where special properties of the zeta function come in (or perhaps more likely a class of functions of which the zeta function is a member)
.
 
Mi ha colpito questo sunto:

Ho letto anch'io quel commento sul sito di John D. Cook (che, a mio parere, fa un'analisi onesta ed equilibrata, seppur scettica, sulla difficoltà nel giudicare la validità della dimostrazione) ma ho serie difficoltà a farmi un'idea sulle proprietà e l'interazione di queste funzioni.

E anche il paper di Atiyah sulla costante di struttura fine e la funzione T mi è riuscito alquanto oscuro, anche se mi intrigherebbe la possibile correlazione tra un problema prettamente matematico ed uno prettamente fisico.

Visti i miei studi teorici molto arrugginiti non mi resta che rassegnarmi ad aspettare la confutazione quando sarà pubblicato un paper ufficiale (che ancora non c'è) :)
 
Negli ultimi tempi pare che Atiyah sia scivolato diverse volte.

Io ci conto poco, ma gli perdono tutto e faccio comunque il tifo per lui! OK!
 
Fog mi chiede se sono in grado di dare un giudizio.

No, si tratta di argomenti molto specialistici, sui quali occorrerebbe prima assimilare bene le basi (e già questo è difficile se non si hanno testi adeguati).

Comunque ho scorso i due paper. Secondo me il più affascinante è quello sulla costante di struttura fine, che metterebbe in relazione il mondo Platonico - matematico e quello fisico. Piacerebbe molto a Penrose, ma anche a quelli della teoria delle stringhe, Witten e& C.

A meno che non ci sia qualche errore banale, aspettatevi che ci voglia qualche mese per un responso.

Teniamoci informati
 
Gli piace senza alcun dubbio! Piaceva moltissimo anche a Feynman (mi riferisco a alfa).

Cercati in rete alcuni video di lezioni di RF al calTech. Era ganzissimo, ti faceva schiantare dalle risate..... (anche se parla un inglese che per me è decisamente ostico e alla velocità della luce...)

Comunque sì, la ricerca di Atiyah parte anche da alcune idee di RF....
 
Giusto per riportarla on head...

Ma la cosa ha poi avuto evoluzioni? Io non ho più trovato nulla...
 
Giusto per riportarla on head...

Ma la cosa ha poi avuto evoluzioni? Io non ho più trovato nulla...

Credo che sia stato solo un "attacco" all'ipotesi per via generale. Quindi niente formula chiusa sui numeri primi. Vorrei solo precisare, per il lettore che non lo sapesse, che l'importanza dell'ipotesi di Riemann è intimamente legata all'idea che risolvendo questa ne seguirebbe l'aver trovato tale formula chiusa (con formula chiusa si intende una espressione del tipo 2n che in questo caso descrive l'insieme dei numeri pari, tale che se volessi sapere quale è il 40° numero pari basterebbe porre n=40 e quindi ottenere 80). E' la formula chiusa dei numeri primi il vero Sacro Graal della Matematica. Che ci si arrivi tramite l'Ipotesi di Riemann è una delle strade,molto probabilmente la più promettente. D'altra parte trovare una formula chiusa dei numeri primi dovrebbe consentire di trovare la soluzione all'Ipotesi per via dell'uguaglianza che esiste tra la funzione Z ed un altra espressione che ha per argomento numeri primi. Francamente sono scettico che possa esistere una tale soluzione.
Questo perchè in Matematica ci sono cose che il destino, la natura, o Dio ha voluto lasciare nascoste. Probabilmente il più grande mistero della Matematica insieme a quello dei numeri primi è l'impossibilità di dimostrare il 5° postulato di Euclide. Su questo rompicapo ci sono sbattuti tantissimi ed oggi è comunemente accettato che non è possibile dimostrarlo ne possibile dimostrare l'impossibilità di dimostrarlo.
Dobbiamo anche allo stesso Riemann l'idea che la geometria potesse non essere euclidea (dove vale il 5° postulato), che elaborò la geometria sferica, l'idea di curvatura e varietà. Ora facciamo alcuni salti troviamo che Einstein ha dimostrato che la massa di un corpo deforma lo spazio-tempo curvandolo ne segue che la geometria stessa cambia. Per punti tra loro relativamente vicini la geometria euclidea rimane valida, a grandi distanze questa non è più valida. Tutto questo per dire che la mancanza di una dimostrazione del 5° postulato, ovvero l'aver scoperto la possibilità di altre geometrie oltre a quello euclidea, è quel buco in cui ci si è potuta infilare la relatività. Non sappiamo se il buco dei numeri primi ci riserverà altre meraviglie, ma io ci conto tantissimo.
 
Credo che sia stato solo un "attacco" all'ipotesi per via generale. Quindi niente formula chiusa sui numeri primi. Vorrei solo precisare, per il lettore che non lo sapesse, che l'importanza dell'ipotesi di Riemann è intimamente legata all'idea che risolvendo questa ne seguirebbe l'aver trovato tale formula chiusa (con formula chiusa si intende una espressione del tipo 2n che in questo caso descrive l'insieme dei numeri pari, tale che se volessi sapere quale è il 40° numero pari basterebbe porre n=40 e quindi ottenere 80). E' la formula chiusa dei numeri primi il vero Sacro Graal della Matematica. Che ci si arrivi tramite l'Ipotesi di Riemann è una delle strade,molto probabilmente la più promettente. D'altra parte trovare una formula chiusa dei numeri primi dovrebbe consentire di trovare la soluzione all'Ipotesi per via dell'uguaglianza che esiste tra la funzione Z ed un altra espressione che ha per argomento numeri primi. Francamente sono scettico che possa esistere una tale soluzione.
Questo perchè in Matematica ci sono cose che il destino, la natura, o Dio ha voluto lasciare nascoste. Probabilmente il più grande mistero della Matematica insieme a quello dei numeri primi è l'impossibilità di dimostrare il 5° postulato di Euclide. Su questo rompicapo ci sono sbattuti tantissimi ed oggi è comunemente accettato che non è possibile dimostrarlo ne possibile dimostrare l'impossibilità di dimostrarlo.
Dobbiamo anche allo stesso Riemann l'idea che la geometria potesse non essere euclidea (dove vale il 5° postulato), che elaborò la geometria sferica, l'idea di curvatura e varietà. Ora facciamo alcuni salti troviamo che Einstein ha dimostrato che la massa di un corpo deforma lo spazio-tempo curvandolo ne segue che la geometria stessa cambia. Per punti tra loro relativamente vicini la geometria euclidea rimane valida, a grandi distanze questa non è più valida. Tutto questo per dire che la mancanza di una dimostrazione del 5° postulato, ovvero l'aver scoperto la possibilità di altre geometrie oltre a quello euclidea, è quel buco in cui ci si è potuta infilare la relatività. Non sappiamo se il buco dei numeri primi ci riserverà altre meraviglie, ma io ci conto tantissimo.

Indubbiamente, la possibilità di poter calcolare i numeri primi con una formula 'chiusa' potrebbe aprire strade affascinanti e inesplorate (il che spiega l'interesse per questioni che sembrano puramente matematiche e che invece possono impattare sull'interpretazione della realtà) :yes:

Quello che è, invece, certo è che una formula 'chiusa' di calcolo dei primi e perfino un metodo di calcolo numerico con un peso computazionale inferiore all'attuale avrebbero entrambi forti ricadute negative sulla sicurezza degli algoritmi di crittografia asimmetrica riaprendo, di fatto, la gara:

RSA Factoring Challenge - Wikipedia
 
http://www.ams.org/notices/199612/pomerance.pdf

Ormai ha più di 20 anni e manca completamente la parte sull'uso delle curve ellittiche, ma è sempre interessante e abbastanza comprensibile.

Poi può essere che non tutto ciò che si sa sull'argomento "fattorizzazione" sia stato pubblicato, proprio per ragioni di sicurezza.

Se qualcuno si vuole divertire c'è il package "gmp" di R che lavora sui big.numbers. (Ma non provate a fattorizzarci i numeri RSA che vi si pianta la macchina, però potete calcolare N mod m anche per RSA 2048)
 
Omaggio dovuto :)

E mi piace la scelta di premiare un passettino verso l'unificazione delle teorie :yes:, che rimane pur sempre il sogno proibito di ogni fisico.
 
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