Copula per principianti

  • Ecco la 60° Edizione del settimanale "Le opportunità di Borsa" dedicato ai consulenti finanziari ed esperti di borsa.

    Questa settimana abbiamo assistito a nuovi record assoluti in Europa e a Wall Street. Il tutto, dopo una ottava che ha visto il susseguirsi di riunioni di banche centrali. Lunedì la Bank of Japan (BoJ) ha alzato i tassi per la prima volta dal 2007, mettendo fine all’era del costo del denaro negativo e al controllo della curva dei rendimenti. Mercoledì la Federal Reserve (Fed) ha confermato i tassi nel range 5,25%-5,50%, mentre i “dots”, le proiezioni dei funzionari sul costo del denaro, indicano sempre tre tagli nel corso del 2024. Il Fomc ha anche discusso in merito ad un possibile rallentamento del ritmo di riduzione del portafoglio titoli. Ieri la Bank of England (BoE) ha lasciato i tassi di interesse invariati al 5,25%. Per continuare a leggere visita il link

Come tutte le formule "esatte" utilizzate in finanza, la copula gaussiana è stata per molto tempo lo strumento principe per l'aggregazione di rischio tra diversi assets.

Poi, si è scoperto che di "esatto" in finanza esiste ben poco..poichè la radice umana inficia qualsiasi formula chiusa, per quanto elegante sia.

Tuttavia, da quel che ho capito, essere a conoscenza di questo limite non inficia la validità di uno strumento complesso ma poi non così tanto.

Proviamo ad aggregare il rischio di 3 assets in portafoglio:

SP500, Dax MidCap e uno a vostra scelta.

Prendiamo i primi due per semplificare:

Generiamo log rendimenti mensili (io ne ho per 158 osservazioni mensili).

Generiamo 2 vettori (tramite Montecarlo) contenenti 158 variabili tra 0 e 1 onde usarle come possibile scenario "di rendimento".

Standardizziamo i due vettori.

Gli scatterplots di SP500(lr) e DaxMC(lr) e dei due vettori identicamentente normalmenbte distribuiti si presentano come segue:

e ..strano ma vero...siamo oltre la metà dell'opera..

(......)


DISCLAIMER: sono un barbiere :)
 

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Usiamo la decomposizione di Cholesky per trasformare la matrice di correlazione dei vettori montecarlo standardizzati.

Trovate l'add-in per excel qui:Software Download

Questo serve a garantire definita positiva la matrice di correlazione.

(.........se interessa continuo..)
 
Le copule sono uno strumento potentissimo! Ma come ogni strumento/modello matematico ha dei limiti. Se si fa uso delle copule senza conoscerne i limiti si combinano solo un sacco di guai. Poi è facile dire che le copule sono state la causa della crisi. La causa non è l'uso delle copule, ma chi le ha usate senza sapere che il modello aveva grossi limiti.

Le copule Gaussiane hanno una serie di problemi che possono essere risolti con le t-copule senza dover fare molta fatica in più delle copule Gaussiane.

Quando bisogna modellizzare solo pochi titoli le mie preferite sono quelle archimedee, ma peccano di non avere sufficienti gradi di liberta per modellizzare un campione di tanti titoli correlati tra loro
 
Le copule sono uno strumento potentissimo! Ma come ogni strumento/modello matematico ha dei limiti. Se si fa uso delle copule senza conoscerne i limiti si combinano solo un sacco di guai. Poi è facile dire che le copule sono state la causa della crisi. La causa non è l'uso delle copule, ma chi le ha usate senza sapere che il modello aveva grossi limiti.

Le copule Gaussiane hanno una serie di problemi che possono essere risolti con le t-copule senza dover fare molta fatica in più delle copule Gaussiane.

Quando bisogna modellizzare solo pochi titoli le mie preferite sono quelle archimedee, ma peccano di non avere sufficienti gradi di liberta per modellizzare un campione di tanti titoli correlati tra loro

Remia, senza passare per il software (excel o altri), c'è una formula chiusa per la scomposizione di Cholesky?

Esempio

Kendall's Tau-B Correlation Matrix

¦ S1 S2
---+---------------
S1 ¦ 1,000
S2 ¦ -0,038 1,000


per trasformarla?
(non so se è crretta la domanda..sto cercando di capirci qualcosa)..

Perchè fatto questo, poi il percorso è banale:)
 
Più che una formula chiusa esiste un algoritmo che permette di calcolarla.

Cmq nel caso di due soli titoli è semplicissimo:
Se rho è la correlazione tra i due titoli, la matrice di correlazione è

1 rho
rho 1

La fattorizzazione di cholesky è

1 0
rho sqrt(1-rho^2)

Edit: Per rendere la cosa un po' più chiara.

Se ho una matrice simmetrica R, la fattorizzazione di Cholesky è definita come quella matrice H, triangolare inferiore tale che

H*H' = R

dove H' indica la trasposta di H
 
Ultima modifica:
Vi allego il paper che sto sezionando...e che sorprendentemente riesco quasi a capire...(e che trovo tra i più semplici e chiari nel panorama..)

Chi utilizza excel avrà un bel vantaggio (se volete posso allegare file di esempio)

Chi utilizza R ha il pacchetto pronto (compresa la stima delle matrici tramite Garch)

Io sto trovando qualche difficoltà con Cholesky appunto..

Credo sia utile a tutti (visto che tutti facciamo bene o male portafoglio..)
 

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Più che una formula chiusa esiste un algoritmo che permette di calcolarla.

Cmq nel caso di due soli titoli è semplicissimo:
Se rho è la correlazione tra i due titoli, la matrice di correlazione è

1 rho
rho 1

La fattorizzazione di cholesky è

1 0
rho sqrt(1-rho^2)

Edit: Per rendere la cosa un po' più chiara.

Se ho una matrice simmetrica R, la fattorizzazione di Cholesky è definita come quella matrice H, triangolare inferiore tale che

H*H' = R

dove H' indica la trasposta di H


Grande!!! Avevo il dubbio che per due titoli fosse la RQ ma non la certezza...il che riconduce ad una misura di distanza credo..(credo...ho in mente le ultrametriche..)

10000000 grazie!!

Ora, se qualcuno volesse proseguire "per excel" o "R"..io proseguo con i miei conti..OK!
 
Il problema era stato introdotto e affrontato abbastanza bene qui:
Consiglio una lettura di questo messaggio di TheBear per un'introduzione discorsiva al problema.

P.S.: remia89s, la scomposizione di Cholesky non sempre dà "buoni" risultati: a me ha dato a volte matrici di "codeviazione" (passami il termine, intendo la radice quadrata della matrice delle covarianze, cioè la "pseudo square root matrix") totalmente sballate rispetto al comportamento dei sottostanti; mi sono trovato molto meglio con la scomposizione per autovalori (la stessa che si usa per la PCA), anche se la procedura è leggermente più lunga.
 
Saltando qualche passaggio e sperando di chiarire il concetto "Copula", quello che ci ripromettiamo di calcolare è una distribuzione che compari lo scenario A) con lo scenario B) le cui differenze, evdenti in queste coppie (ho standardizzato tutte le variabili) sono evdenti (ricordo s1 e s2 casuali uniformi)

(Remia correggi se è il caso).

(..........)
 

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Le copule sono uno strumento potentissimo! Ma come ogni strumento/modello matematico ha dei limiti. Se si fa uso delle copule senza conoscerne i limiti si combinano solo un sacco di guai. Poi è facile dire che le copule sono state la causa della crisi. La causa non è l'uso delle copule, ma chi le ha usate senza sapere che il modello aveva grossi limiti.


"Very few people understand the essence of the model":)

Uncritical Strategic Dependence on Little-known Metrics
 
Vi scrivo due righe per chiarire che cos'è una copula (o meglio, come si usa).

Supponete di avere due titoli finanziari diversi. Possono essere due titoli azionari, due obbligazioni diverse, due mutui o quello che vi pare.

Possiamo pensare all'indice FTSE-MIB e al CAC-40.

Il nostro obiettivo è quello di fare delle simulazioni montecarlo dei due titoli in modo da capire l'evoluzione di un portafoglio. (Ma si può pensare a mille altre applicazioni).

Se volessimo simulare solo il FTSE-MIB avremmo da:
-scegliere un modello
-stimare i parametri
-lanciare la simulazione
Stessa cosa per il CAC-40.

Il problema sorge nel momento in cui dobbiamo simulare insieme i due titoli tenendo conto della correlazione. Infatti non sempre i modelli UNI-fattoriali permettono di essere estesi a PIU' fattori.
Inoltre la stima dei parametri potrebbe diventare veramente molto onerosa, infatti il costo computazionale di stima non cresce linearmente col numero dei parametri (in soldoni stimare due modelli da 3 parametri è molto meno costoso di stimarne uno da 6).

Qui entrano in gioco le copule: la copula è uno strumento che permette di costruire un modello MULTI-fattoriale a partire da modelli UNI-fattoriali.

Con la copula il procedimento diventa:
-scelgo un modello UNI-fatt. per il FTSE-MIB e uno per il CAC-40.
-stimo SEPARATAMENTE i parametri del primo e del secondo.
-scelgo un modello di copula
-stimo i parametri della copula (e qui è il bello, la copula è seperata dalla scelta dei due modelli)
-simulo i due titoli.

Se siete interessati vi spiego anche come funziona la simulazione (si basa su due teoremini facili facili), mentre per la stima dei parametri delle copule non ne ho idea di come si faccia
 
 

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Ci ho pensato e questa cosa potrebbe funzionare, ma c'è bisogna di una premessa: come funzionano le copule.

La copula è una distribuzione multivariata di variabili aleatorie uniformi.
cioè:
C(u1,u2,...,uN) è la cdf di N variabili uniformi correlate tra loro.

Cosa ce ne facciamo:
abbiamo detto di aver scelto il modello per UNi-fattoriale per ciascun fattore.
Supponiamo di conoscere la cdf di ciascun modello: FXi(xi).

Un teorema dice:
se U è un v.a. uniforme e F(x) la cdf di una v.a. X, allora F^(-1)(U) ha la stessa legge di X.

Perciò il nostro modello multivariato lo costruiamo come:

FX1^(-1)(U1), FX2^(-1)(U2),...,FXN^(-1)(UN) dove le Ui seguono una copula.

Marginalmente gli FXi^(-1)(Ui) seguono la legge FXi(x) e congiuntamente hanno una distribuzione descritta dalla copula.

Per simulare il modello cosa si fa:

-simulo le variabili Ui distribuite secondo la copula (e questo di solito si sa fare bene)
-i miei titoli correlati li simulo come FXi^(-1)(Ui).

Dopo questa premessa penso di avere un'idea su come stimare i parametri.
Se io ho una serie storica delle Xi di cui ho stimato tutti i parametri (per ogni i), costruisco il vettore delle FXi(Xi) che per un teorema simile a quello di prima sappiamo che sono distribuite uniformemente secondo la copula(questa è la nostra ipotesi del modello).

Allora posso applicare un metodo di massima verosimiglianza per stimare i parametri della copula sul vettore delle (FX1(X1),FX2(X2),...,FXN(XN))_(j)
con j indice dell'osservazione


Per ricapitolare i punti chiave: Se ho una cdf F(x) di una v.a. X, F(X) è una uniforme. Se U è uniforme, F^(-1)(U) ha la stessa legge di X
 
Allora posso applicare un metodo di massima verosimiglianza per stimare i parametri della copula sul vettore delle (FX1(X1),FX2(X2),...,FXN(XN))_(j)
con j indice dell'osservazione...
Ottima tesi: se si va nella bibliografia si vede che la parte del lavoro sporco nella stima dei parametri delle copule la fanno
  • Kojadinovic, I. and Yan, J. (2010) “Modeling Multivariate Distributions with Continuous Margins Using the copula R Package”. Journal of Statistical Software, 34(9), 1-20.
  • Yan, J. (2007) “Enjoy the Joy of Copulas: With a Package copula”. Journal of Statistical Software, 21(4), 1-21.
Allora sono andato sul manuale di queste librerie (ovviamente scritte dagli stessi autori) e ho visto che ci sono già le funzioni per stimare i parametri delle copule che preferiamo usando la massima verosimiglianza sui dati in ingresso: si dà in input una matrice di osservazioni e si sceglie il tipo di copula che si ritiene più adatto, successivamente l'algoritmo restituisce i parametri della copula scelta.

E' anche possibile avere la massima verosimiglianza di ciascun modello che si sceglie, in modo da capire quale copula è meglio di un'altra.
 
Ma con queste "cose" ci fate dei gain?
 
Ma con queste "cose" ci fate dei gain?
Eccolo qua: 1,000 punti per Orissander :yeah:

No, no, nessun gain: di solito io mi limito a fare il 20% all'anno vendendo Put OTM nude su «aziende solide», come ENI e... Saipem :D
 
Su spm temo che qualcuno ci sia morto, in effetti...
Dando un occhio agli open interest sul mar si intuiva anche l'ammontare della loss, anche se in realtà credo che una parte fosse spreaddata con altre scadenze.

In spm comunque rimangono dei folli, guidance del genere senza avvertire il mercato è da arresto.
Ma i più farabutti rimangono i tizi del placement fatto un paio di giorni del disastro. Numeri uno. :yeah:
 
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