Il pricing secondo il modello di Black-Scholes

Le equazioni di Black-Scholes per valutare i prezzi dei warrant ed opzioni call e put (europei) comprendono le variabili precedentemente considerate ed utilizzano la seguente simbologia:

Il valore di un warrant call, con multiplo pari a m, al tempo t è dato da:

che è equivalente a

dove: N(x) è la funzione di distribuzione cumulata normale standardizzata (con media nulla e varianza unitaria);

L'espressione N(d2) misura la probabilità che il warrant venga esercitato, quindi SN(d2) rappresenta il prezzo di esercizio moltiplicato per la probabilità che il prezzo di esercizio venga pagato. La prima parte dell´espressione, , è il valore atteso di una variabile che è pari a ST, se ST > X , altrimenti vale zero. Il fattore serve ad attualizzare al tempo t il valore del warrant call alla scadenza . Nel caso in cui l´azione sottostante paghi dividendi una semplice correzione sarebbe quella di sostituire nelle formule precedenti al prezzo dell´azione S la quantità S´ che si ottiene detraendo i dividendi stimati (ed attualizzati) che verranno staccati durante la vita del warrant.

In assenza di dividendi si può dimostrare che il valore di un call americano coincide con quello di un call europeo. Nel caso di dividendi, esistono delle approssimazioni analitiche alla classica formula di B&S che tengono conto dell´eventuale convenienza ad esercitare il warrant immediatamente prima alla data di stacco, come quella introdotta da Roll, Geske e Whaley. Il valore dei warrant put, P, si ricava da quello dei warrant call, C, tramite la relazione che lega i valori dei warrant put e call europei (nota come put-call parity):

Tale relazione dice semplicemente che in un mondo senza arbitraggio (ossia senza possibilità di profitto in assenza di rischi) i due portafogli seguenti devono essere equivalenti tra loro (al tempo t < T):

Portafoglio A: una call europea più un importo in denaro pari a:
Portafoglio B: una put europea più un´azione dal prezzo S;

Tramite la put-call parity, il valore di una put (europea) con un certo prezzo di esercizio ed una certa scadenza può essere dedotto dal valore di una call europea con lo stesso prezzo di esercizio e la stessa scadenza, in particolare si otterrà:

Per quanto riguarda la valutazione dei warrant put di tipo americano, si utilizzano delle ormai consolidate procedure numeriche, come il metodo Montecarlo oppure l´approccio degli alberi binomiali.